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全微分方程(高等数学入门——全微分方程的概念及其解法)

全微分方程系列简介:这个系列文章讲解高等数学的基础内容,注重学习方法的培养,对初学者不易理解的问题往往会不惜笔…

全微分方程
系列简介:这个系列文章讲解高等数学的基础内容,注重学习方法的培养,对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释。在内容选取上,以国内的经典教材”同济版高等数学“为蓝本,并对具体内容作了适当取舍与拓展。例如用ε-δ语言证明函数极限等高等数学课程通常不要求掌握的内容,我们不作过多介绍。相应地,我们补充了一些类似”利用泰勒公式推导二项式定理”等具有一定趣味性的内容,作为对传统教材内容适度拓展。本系列文章适合作为初学高等数学时的课堂同步辅导,也可作为考研复习的参考资料。文章中的例题大多为扎实基础的常规题目和帮助加深理解的概念辨析题,并有相当数量的历年考研试题。对于一些难度较大或对理解所学知识有帮助的“经典好题”,我们会详细讲解。阅读更多“高等数学入门”系列文章,欢迎关注数学若只如初见!
上一节中我们介绍了二元函数全微分求积的问题,由此可立即得到一类微分方程的解法,即所谓的全微分方程,本节介绍全微分方程的概念及其解法,请读者先复习上节介绍全微分求积的三种常用方法。(由于公式较多,故正文采用图片形式给出。)
一、全微分方程的概念及其通解。
二、全微分方程的判断及其求解方法。
三、关于求解全微分方程的一些说明。(解全微分方程和上一节中介绍的二元函数全微分求积的方法完全类似,即曲线积分法、凑微分法和不定积分法。)
四、求解全微分方程的典型例题。(注意此类题目中,计算P,Q的偏导数并验证相等这个步骤不能省略!)

五、利用不定积分法求解上述例题。(上述例题中的P,Q比较复杂,故不适合采用凑微分法。)
六、对Pdx+Qdy=0型微分方程的进一步讨论。(注意有些全微分方程也可采用其它方法求解,例如分离变量法。另外某些形如Pdx+Qdy=0的非全微分方程,也可转化为全微分方程求解,但注意它不是某个二元函数的全微分!)
上一篇:高等数学入门——二元函数全微分求积的方法和典型例题

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